中学数学では、球の表面積と体積の公式を学びます。
球の公式
\[ \text{表面積}=4\pi r^2 \] \[ \text{体積}=\frac{4}{3}\pi r^3 \]半径を \(r\) としたとき、表面積は \(4\pi r^2\)。 体積は \(\frac{4}{3}\pi r^3\)。
これは、計算問題ではとてもよく使います。
ただ、正直に言うと、この公式はかなり厄介です。
扇形や円錐であれば、 展開図を描いたり、円の何分のいくつかを考えたりすれば、 中学生の範囲でもかなり納得しやすいです。
しかし、球の表面積と体積はそう簡単ではありません。
中学数学の範囲だけで、きちんと証明するのはかなり難しいです。
なので、ここはまず謝りたいところです。
すみません。球の公式は、中学生の段階ではいったん覚えるしかない面があります。
ただし、それで終わりにするのも少しもったいないです。
高校数学で学ぶ 積分 の考え方を使うと、 球の体積がなぜ \(\frac{4}{3}\pi r^3\) になるのかが見えてきます。
さらに、体積と表面積の関係から、 表面積が \(4\pi r^2\) になることも見えてきます。
今回は、中学生にもイメージしやすいように、 厳密な証明というより、 公式の裏側にある考え方 を整理していきます。
まず、球の公式を確認する
半径 \(r\) の球について、公式は次の通りです。
半径 \(r\) の球
\[ \text{表面積}=4\pi r^2 \] \[ \text{体積}=\frac{4}{3}\pi r^3 \]この2つの公式は、見た目が少し似ています。
表面積は \(4\pi r^2\)。
体積は \(\frac{4}{3}\pi r^3\)。
どちらにも \(4\)、\(\pi\)、\(r\) が出てきます。
ただ、なぜこうなるのかは、ぱっと見ただけではわかりません。
円の面積なら、 半径 \(r\) の円が \(\pi r^2\) になることは、いろいろな説明ができます。
扇形なら、円全体の何分のいくつかで考えられます。
円錐なら、展開図を見れば底面と側面に分けられます。
しかし、球は展開図をきれいに平面に広げることができません。
地球儀をそのまま平面の地図にすると、どうしてもゆがむのと同じです。
球の公式が中学生にとって難しいのは、 この「きれいに開けない」というところにもあります。
体積は「薄い円を積み重ねる」と考える
まずは、球の体積から考えてみます。
球を、ものすごく薄く輪切りにしていくとします。
すると、1枚1枚は薄い円盤のように見えます。
その薄い円盤を下から上まで全部足し合わせれば、 球全体の体積になるはずです。
これが、積分の基本的な考え方です。
積分のイメージ
\[ \text{全体の体積} = \text{薄い円盤の体積をすべて足す} \]中学生の段階では、積分をまだ習いません。
ただ、考え方だけならそれほど怖くありません。
複雑な立体を、ものすごく薄い部品に分ける。
その部品の体積を全部足し合わせる。
それが積分の大まかなイメージです。
輪切りの半径は場所によって変わる
球を輪切りにすると、どこを切るかによって円の大きさが変わります。
真ん中で切れば、大きな円になります。
上のほうや下のほうで切れば、小さな円になります。
ここが大事です。
球の体積を求めるには、 それぞれの高さでできる円の面積を考えなければいけません。
半径 \(r\) の球を考えます。
球の中心を基準にして、高さを \(x\) とします。
中心では \(x=0\)。
一番上では \(x=r\)。
一番下では \(x=-r\) です。
高さ \(x\) のところで輪切りにすると、 そこにできる円の半径は、 三平方の定理で求められます。
球の半径は \(r\)。 中心から高さ方向に \(x\) だけ離れています。
すると、輪切りの円の半径を \(y\) とすれば、
となります。
したがって、
です。
輪切りの円の面積は、 \(\pi y^2\) です。
そこに \(y^2=r^2-x^2\) を入れると、
高さ \(x\) の輪切りの面積
\[ \pi(r^2-x^2) \]となります。
つまり、球の体積は、 この \(\pi(r^2-x^2)\) という面積を、 \(x=-r\) から \(x=r\) まで足し合わせればよいことになります。
積分で体積を求める
ここからは少し高校数学の話になります。
輪切りの面積 \(\pi(r^2-x^2)\) を、 \(x=-r\) から \(x=r\) まで足し合わせることを、積分で次のように書きます。
ここでの \(V\) は、球の体積です。
\(\int\) という記号は、 「細かく分けたものを全部足し合わせる」 というイメージで見れば十分です。
実際に計算すると、
ここから積分計算をすると、
なので、
まず、\(x=r\) を入れると、
次に、\(x=-r\) を入れると、
上から下を引くので、
最後に外の \(\pi\) をかけると、
球の体積
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]これで、球の体積の公式が出てきました。
中学生には少し先の内容ですが、 考え方は 薄い円盤を全部足す です。
そう考えると、 \(\frac{4}{3}\pi r^3\) という公式も、完全に謎の文字列ではなくなります。
では、表面積はどう考えるか
次に、球の表面積です。
公式は、
です。
これも、中学数学だけできちんと証明するのはかなり難しいです。
表面積についても、微分積分を使って厳密に求める方法があります。
ただ、ここではもう少しイメージしやすい説明を使います。
球の表面を、ものすごく細かい小さな面に分けるとします。
その小さな面を底面として、球の中心に向かって細い三角すいのような立体を作ると考えます。
球全体は、そのような小さな三角すいをたくさん集めたものに近いと考えられます。
ここで、それぞれの小さな三角すいの高さは、だいたい球の半径 \(r\) です。
三角すいや円すいの体積は、
でした。
したがって、球を細かい三角すいの集まりとして見ると、 全体の体積は、
と考えられます。
球の表面積を \(S\) とすると、
です。
これは厳密には極限の考え方が必要ですが、 イメージとしてはかなり大事です。
球の表面を細かく分けて、 それぞれを底面にした小さなすい体を中心に向かって集める。
そうすると、球の体積と表面積がつながります。
体積から表面積を求める
先ほど、球の体積は
だとわかりました。
一方で、球を小さなすい体の集まりとして見ると、
です。
この2つは、どちらも同じ球の体積を表しています。
したがって、
となります。
両辺に3をかけると、
さらに、両辺を \(r\) で割ると、
球の表面積
\[ S=4\pi r^2 \]これで、球の表面積の公式が出てきました。
もちろん、これは中学数学としてはかなり背伸びした説明です。
しかし、 \(\frac{4}{3}\pi r^3\) と \(4\pi r^2\) がまったく別々の公式ではなく、 つながっていることは見えてきます。
中学生はどうすればよいか
では、中学生は球の公式をどう扱えばよいのでしょうか。
結論としては、 まずは覚える でよいです。
ここは、少し不本意かもしれません。
しかし、球の表面積と体積の公式は、 中学範囲だけで完全に納得して導くのが難しい公式です。
だから、受験や定期テストの段階では、まず公式を正確に覚える必要があります。
まず覚えるべき公式
\[ \text{球の表面積}=4\pi r^2 \] \[ \text{球の体積}=\frac{4}{3}\pi r^3 \]ただし、覚えるときに完全な丸暗記で終わらせないことも大切です。
体積は、薄い円盤を積み重ねて求められる。
表面積は、体積とつながっている。
そのくらいのイメージを持っておくだけでも、 公式の見え方は変わります。
今は証明できなくても大丈夫です。
後で高校数学を学んだときに、 「あの公式はこうやって出てくるのか」 とつながれば十分です。
公式は覚えるしかないものもある
数学では、できるだけ公式の意味を考えたほうがよいです。
ただ、すべての公式を、その学年の知識だけできれいに証明できるわけではありません。
球の表面積と体積は、その代表例です。
中学生にとっては、少し先の数学を使わないと本当の意味では見えにくい公式です。
だから、ここはまず覚える。
そのうえで、将来もう一度戻ってきたときに、証明の意味を理解する。
そういう付き合い方でよいと思います。
数学の理解は、一度で完成するものではありません。
中学で覚えた公式が、高校で意味を持ち始めることもあります。
その意味で、球の公式はかなりよい例です。
今回のまとめ
今回は、球の表面積と体積の公式について考えました。
半径 \(r\) の球について、公式は次の通りです。
球の公式
\[ \text{表面積}=4\pi r^2 \] \[ \text{体積}=\frac{4}{3}\pi r^3 \]中学数学では、この公式をいったん覚える必要があります。
正直、中学範囲だけできちんと証明するのはかなり難しいです。
ただし、考え方の入口は知っておいてよいです。
球の体積は、薄い円盤を積み重ねることで求められます。
球の表面積は、球を細かいすい体の集まりとして見ることで、 体積とつなげて考えることができます。
中学生の段階では、ここまでを完全に理解する必要はありません。
まずは公式を正確に覚え、問題で使えるようにする。
そのうえで、球の公式は高校数学の積分につながっているのだと知っておく。
それだけでも、公式はただの暗記ではなくなります。
今すぐ全部わからなくても大丈夫です。
数学には、あとから意味が追いついてくる公式もあります。
球の表面積と体積は、まさにそういう公式だと思います。