数学を勉強していると、 乗法公式 が出てきます。
たとえば、次のような公式です。
乗法公式の例
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \]これらは、中学数学でも高校数学でもかなり大事です。
ただ、最初に習うときには、 「とりあえず覚えなさい」 という感じになりやすいところでもあります。
もちろん、乗法公式は覚えたほうがいいです。
何度も使うので、毎回ていねいに展開していたら時間がかかります。
ただし、暗記だけで終わってしまうと、 公式の見え方が少し浅くなります。
乗法公式は、突然どこかから降ってきたものではありません。
もとをたどれば、 分配法則 から出てきます。
そして、図形で見れば、 長方形の面積を分けて考えているだけ でもあります。
今回は、 乗法公式の基本形である \((a+b)(c+d)\) を、2つの方法で見ていきます。
- 分配法則を使った代数的な証明
- 長方形の面積を使った図形的な説明
難しい話ではありません。
むしろ、 「ああ、同じことを別の見方で見ているだけなんだ」 と思えれば十分です。
まずは基本形を確認する
今回扱うのは、次の式です。
今回見る式
\[ (a+b)(c+d) \]この式を展開すると、次のようになります。
展開結果
\[ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd \]これが、乗法公式のかなり基本的な形です。
ここから、 \((a+b)^2\) や \((a+b)(a-b)\) などの公式につながっていきます。
たとえば、 \(c=a\)、\(d=b\) とすれば、
になります。
だから、 \((a+b)(c+d)\) は、乗法公式を考えるうえでかなりよい出発点です。
方法1：分配法則で証明する
まずは、代数的に証明してみます。
使うのは、分配法則です。
分配法則
\[ x(y+z)=xy+xz \]これを使えば、 \((a+b)(c+d)\) も展開できます。
ただ、いきなり \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\) がたくさん出てくると、少し見にくいです。
そこで、片方のかっこを一度、大きな文字で置いてみます。
置き換え
\[ A=a+b \]すると、 \((a+b)(c+d)\) は、いったん次のように見えます。
ここで、分配法則を使います。
ここまでは、普通の分配法則です。
次に、 \(A\) をもとの \(a+b\) に戻します。
ここでもう一度、分配法則を使います。
したがって、
順番を少し並べ替えると、
つまり、
証明結果
\[ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd \]これで証明できました。
「置き換える」と見通しがよくなる
今の証明で大事なのは、 途中で \(A=a+b\) と置いたことです。
もちろん、置き換えなくても展開はできます。
しかし、いったん \(a+b\) を \(A\) と見ることで、 式がかなり単純になります。
こうすると、 「かっことかっこの積」 ではなく、 「ひとつの文字とかっこの積」 に見えます。
つまり、いつもの分配法則として処理できるわけです。
数学では、このように 複雑なものを一度ひとまとまりとして見る ことがよくあります。
これは、中学数学だけでなく、高校数学でもかなり大事です。
「置き換える」という操作は、 ただ計算を楽にするためだけのものではありません。
複雑な式の構造を見やすくするための考え方でもあります。
方法2：長方形の面積で説明する
次に、図形で考えてみます。
\((a+b)(c+d)\) は、面積として見ることができます。
たとえば、たての長さが \(a+b\) 、横の長さが \(c+d\) の長方形を考えます。
長方形全体の面積
\[ \text{面積}=(a+b)(c+d) \]この長方形を、たて方向に \(a\) と \(b\) に分けます。
さらに、横方向に \(c\) と \(d\) に分けます。
すると、長方形は4つの小さな長方形に分かれます。
- たて \(a\)、横 \(c\) の長方形
- たて \(a\)、横 \(d\) の長方形
- たて \(b\)、横 \(c\) の長方形
- たて \(b\)、横 \(d\) の長方形
それぞれの面積は、次のようになります。
4つの面積
\[ ac,\quad ad,\quad bc,\quad bd \]全体の長方形の面積は、 この4つの面積を足したものです。
一方で、全体の長方形は、 たて \(a+b\) 、横 \(c+d\) なので、面積は \((a+b)(c+d)\) です。
つまり、同じ長方形の面積を、 2通りの方法で表していることになります。
同じ面積を2通りに表す
\[ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd \]これが、図形による説明です。
図形で見ると、項の意味が見える
代数的な証明だけを見ると、 \(ac+ad+bc+bd\) は、計算の結果として出てきます。
もちろん、それで正しいです。
ただ、図形で見ると、 それぞれの項に意味があることがわかります。
は、たて \(a\) 、横 \(c\) の長方形の面積です。
は、たて \(a\) 、横 \(d\) の長方形の面積です。
は、たて \(b\) 、横 \(c\) の長方形の面積です。
は、たて \(b\) 、横 \(d\) の長方形の面積です。
つまり、 \((a+b)(c+d)\) を展開したときに4つの項が出てくるのは、 長方形を4つに分けているからです。
計算としては分配法則。
図形としては面積の分割。
やっていることは違って見えますが、 見ているものは同じです。
\((a+b)^2\) も同じように見える
ここまでわかると、 よく出てくる公式 \((a+b)^2\) も自然に見えてきます。
\((a+b)^2\) は、 \((a+b)(a+b)\) のことです。
先ほどの公式 \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\) で、 \(c=a\)、\(d=b\) と考えれば、
つまり、
同類項をまとめると、
これで、よく見る乗法公式になります。
図形で見れば、 たて \(a+b\) 、横 \(a+b\) の正方形を、 \(a\) と \(b\) で分けているだけです。
すると、 \(a^2\) の正方形、 \(ab\) の長方形が2つ、 \(b^2\) の正方形ができます。
だから、
になるわけです。
公式は暗記してよい。ただし、意味も見たい
ここまで読むと、 「結局、毎回こんなことを考えないといけないのか」 と思うかもしれません。
もちろん、そんなことはありません。
乗法公式は、最終的には覚えて使えるようにしたほうがいいです。
計算問題を解くたびに、毎回長方形を思い浮かべる必要はありません。
ただし、一度は なぜそうなるのか を見ておいたほうがよいです。
公式をただの暗記として持っているのと、 分配法則や面積の分割として理解しているのとでは、 あとの伸び方が変わります。
特に、文字式が苦手な生徒ほど、 「なぜ突然4つの項が出てくるのか」 が見えていないことがあります。
そこを図形で見ると、 かなり納得しやすくなります。
数学では、同じ内容をいろいろな角度から見ることが大切です。
式で見る。
図形で見る。
具体的な数で見る。
それぞれの見方がつながってくると、 公式はただの暗記ではなくなります。
今回のまとめ
今回は、 \((a+b)(c+d)\) を2つの方法で見ました。
1つ目は、分配法則による代数的な証明です。
2つ目は、長方形の面積による説明です。
たて \(a+b\) 、横 \(c+d\) の長方形を考えると、 全体の面積は \((a+b)(c+d)\) です。
その長方形を4つに分けると、 それぞれの面積は \(ac\)、\(ad\)、\(bc\)、\(bd\) になります。
したがって、
となります。
乗法公式は、暗記して使えるようにすることも大切です。
ただ、その裏側には、 分配法則と面積の考え方があります。
公式は、ただ覚えるものではありません。
何度も使う中で、 「なぜそうなるのか」 も一緒に見えてくると、数学はかなり楽になります。