数学でよく話題になるものに、
\(0.999\cdots\) は本当に \(1\) なのか
という話がある。
結論から言えば、
結論
\[ 0.999\cdots = 1 \]である。
ただ、これは初めて聞くとかなり気持ち悪い。
直感的には、
\(0.999\cdots\) は1にものすごく近いけれど、ぎりぎり1ではないのではないか
と感じる人も多いと思う。
しかし、数学では \(0.999\cdots\) は「1に限りなく近い別の数」ではない。
\(1\) そのものである。
今回は、この少し不思議な等式を、いくつかの見方から整理してみたい。
まずは 1/3 から考える
いちばんよく使われる説明は、 \(\frac{1}{3}\) から考える方法である。
まず、
1/3 の小数表示
\[ \frac{1}{3}=0.3333\cdots \]である。
この両辺を3倍する。
両辺を3倍する
\[ 3\cdot\frac{1}{3}=3\cdot0.3333\cdots \] \[ 1=0.9999\cdots \]したがって、
\[ 0.9999\cdots=1 \]となる。
この説明はかなり短く、直感的にもわかりやすい。
ただし、人によっては、
そもそも \(0.333\cdots\) を3倍して本当に \(0.999\cdots\) と言ってよいのか
と感じるかもしれない。
そこで、別の見方も見てみる。
x = 0.999… と置いて考える
次に、よくある式変形で考える。
まず、
x と置く
\[ x=0.9999\cdots \]と置く。
両辺を10倍すると、
\[ 10x=9.9999\cdots \]である。
ここで、\(10x-x\) を考える。
10倍して引く
\[ 10x=9.9999\cdots \] \[ x=0.9999\cdots \] \[ 10x-x=9.9999\cdots-0.9999\cdots \] \[ 9x=9 \]したがって、
\[ x=1 \]である。
もともと \(x=0.9999\cdots\) と置いたので、
\[ 0.9999\cdots=1 \]となる。
この方法は、循環小数を分数に直すときにもよく使う。
本当に差はあるのか
それでもまだ、
いや、それでも \(0.999\cdots\) と \(1\) の間には、ほんの少しだけ差があるのではないか
と感じるかもしれない。
では、その差を考えてみる。
もし \(0.999\cdots\) が \(1\) より小さい別の数だとしたら、その差
\[ 1-0.9999\cdots \]は、正の数であるはずである。
しかし、その差は何だろうか。
有限個の9で止めるなら、差は確かにある。
有限個なら差がある
\[ 1-0.9=0.1 \] \[ 1-0.99=0.01 \] \[ 1-0.999=0.001 \]しかし、 \(0.999\cdots\) は、どこかで止まる数ではない。
9が無限に続く。
もし差があるとしたら、
\[ 0.000\cdots1 \]のようなものを考えたくなる。
しかし、小数点以下に0が無限に続いたあとで、最後に1が出てくるような数は存在しない。
なぜなら、無限に続くということは、最後がないということだからである。
したがって、
\[ 1-0.9999\cdots \]を正の小数として表すことはできない。
差が存在しないのではない。
差は \(0\) なのである。
差は0
\[ 1-0.9999\cdots=0 \]差が0なら、それは同じ数である。
だから、 \(0.999\cdots=1\) である。
「限りなく近い」と「等しい」の違い
ここで大事なのは、
限りなく近い
という言葉の扱いである。
たとえば、
\[ 0.9,\quad0.99,\quad0.999,\quad0.9999,\dots \]という数列を考える。
これは、確かに1に近づいていく。
どの段階でも、有限個で止めれば1ではない。
\(0.999\) は1ではない。
\(0.9999\) も1ではない。
しかし、 \(0.999\cdots\) は、その数列が無限に続いた先の極限として見る。
そして、
極限として見る
\[ 0.9,\ 0.99,\ 0.999,\ 0.9999,\dots \] \[ \longrightarrow 1 \]である。
有限個で止めた数と、無限に続く小数は違う。
ここを混同すると、 \(0.999\cdots\) が1より少し小さいように見えてしまう。
小数表示は一通りとは限らない
もう一つ大事なことがある。
実は、数によっては小数表示が一通りではない。
たとえば、
同じ数の別表記
\[ 1.0000\cdots=0.9999\cdots \]である。
同じように、
\[ 0.5000\cdots=0.4999\cdots \]も成り立つ。
これは、10進小数の表記の特徴である。
有限小数で表せる数は、末尾に0を無限に続ける表し方と、1つ前の桁を1つ下げて9を無限に続ける表し方の両方ができる。
たとえば、
\[ 0.25=0.25000\cdots=0.24999\cdots \]のように表せる。
つまり、 \(0.999\cdots=1\) は例外的な変な話ではない。
小数表示には、こうした二重表現があるのである。
0.999… は「1に近い数」ではない
ここまでの話をまとめると、 \(0.999\cdots\) は1に近い数ではない。
1そのものである。
もちろん、 \(0.9\) や \(0.99\) や \(0.999\) は1ではない。
しかし、 \(0.999\cdots\) は、そこで止まっている数ではない。
9が無限に続いている。
だから、1との差は0である。
有限と無限の違い
\[ 0.999 \neq 1 \] \[ 0.9999 \neq 1 \] \[ 0.9999\cdots = 1 \]この違いがかなり大事である。
なぜ気持ち悪く感じるのか
\(0.999\cdots=1\) が気持ち悪く感じる理由は、おそらく「無限」を有限の延長で考えてしまうからである。
\(0.9\) は1より小さい。
\(0.99\) も1より小さい。
\(0.999\) も1より小さい。
だから、どれだけ9を増やしても、1には届かないように感じる。
しかし、\(0.999\cdots\) は「どこか有限のところまで9を増やした数」ではない。
無限に9が続く小数である。
有限個の9で止める話と、無限に続く話は違う。
この違いを受け入れるところに、極限の感覚がある。
まとめ
\(0.999\cdots\) は、1に限りなく近い別の数ではない。
数学では、
結論
\[ 0.999\cdots=1 \]である。
その理由は、いくつかの見方から説明できる。
まず、 \(\frac{1}{3}=0.333\cdots\) なので、両辺を3倍すれば、
\[ 1=0.999\cdots \]となる。
また、 \(x=0.999\cdots\) と置いて \(10x-x\) を計算しても、
\[ x=1 \]が得られる。
さらに、\(1\) と \(0.999\cdots\) の差を考えると、その差は正の数ではなく \(0\) である。
有限個の9で止まっているなら、確かに1ではない。
しかし、9が無限に続く \(0.999\cdots\) は1と同じ数である。
この話は、無限や極限の感覚をつかむうえで、とてもよい題材だと思う。