分数を小数に直すと、割り切れるものと、同じ数字の並びが繰り返されるものがある。
たとえば、
分数を小数に直す
\[ \frac{1}{2}=0.5 \] \[ \frac{1}{3}=0.3333\cdots \] \[ \frac{1}{7}=0.142857142857\cdots \]この中でも、特に面白いのが \(\frac{1}{7}\) である。
\(\frac{1}{7}\) は、
\[ 0.142857142857\cdots \]という循環小数になる。
ここで繰り返されている数字列は、
142857
である。
この \(142857\) という数字列には、かなり不思議な性質がある。
今回は、 \(\frac{1}{7}\) に現れる \(142857\) の不思議を見ていきたい。
まずは 1/7 を小数にしてみる
まず、 \(\frac{1}{7}\) を小数にしてみる。
1/7 の小数表示
\[ \frac{1}{7} = 0.142857142857\cdots \]小数部分を見ると、
\[ 142857 \]が繰り返されている。
つまり、
\[ \frac{1}{7}=0.\overline{142857} \]と書ける。
上に線を引いた \(\overline{142857}\) は、その部分が繰り返されるという意味である。
ここまでは、ただの循環小数である。
しかし、この \(142857\) には、見れば見るほど面白い性質がある。
142857 に2をかけるとどうなるか
まず、 \(142857\) に2をかけてみる。
2倍してみる
\[ 142857\times2=285714 \]出てきた数は、 \(285714\) である。
これは、もとの \(142857\) の数字をぐるっと回転させたように見える。
もとの数字列は、
\[ 142857 \]であり、2倍すると、
\[ 285714 \]である。
数字の並びが完全に変わったようで、実は同じ数字が順番を保ったまま回っている。
3倍、4倍、5倍、6倍でも回転する
さらに、3倍から6倍まで見てみる。
142857 の倍数
\[ 142857\times1=142857 \] \[ 142857\times2=285714 \] \[ 142857\times3=428571 \] \[ 142857\times4=571428 \] \[ 142857\times5=714285 \] \[ 142857\times6=857142 \]どれも、 \(142857\) の数字列を回転させたものになっている。
これはかなり不思議である。
普通、ある数に2倍、3倍、4倍と計算していけば、数字の並びは大きく変わっていく。
しかし、 \(142857\) の場合、1倍から6倍までは、同じ数字列がぐるぐる回るだけである。
まるで数字が輪になっているように見える。
7倍するとどうなるか
では、7倍するとどうなるか。
7倍すると
\[ 142857\times7=999999 \]7倍すると、 \(999999\) になる。
ここもかなり面白い。
なぜなら、 \(142857\) はそもそも \(\frac{1}{7}\) の循環節として出てきた数字だからである。
実際、
\[ \frac{1}{7}=0.\overline{142857} \]である。
これを7倍すれば、
\[ 7\cdot\frac{1}{7}=1 \]である。
一方で、
\[ 0.\overline{142857}\times7 = 0.\overline{999999} \]となる。
そして、
\[ 0.999999\cdots=1 \]である。
つまり、 \(142857\times7=999999\) という結果は、 \(\frac{1}{7}\) の小数表示と深く関係している。
なぜ 142857 が出てくるのか
では、なぜ \(\frac{1}{7}\) から \(142857\) が出てくるのだろうか。
これは、割り算の余りを見るとわかりやすい。
\(\frac{1}{7}\) を筆算で小数に直すとき、余りを10倍しながら割っていく。
まず、 \(1\) を7で割る。
小数にするために余りを10倍して考える。
1/7 の余りの流れ
\[ 10\div7=1 \text{ 余り }3 \] \[ 30\div7=4 \text{ 余り }2 \] \[ 20\div7=2 \text{ 余り }6 \] \[ 60\div7=8 \text{ 余り }4 \] \[ 40\div7=5 \text{ 余り }5 \] \[ 50\div7=7 \text{ 余り }1 \]商として出てきた数字を並べると、
\[ 1,4,2,8,5,7 \]である。
つまり、
\[ 142857 \]が出てくる。
そして、最後に余りがまた \(1\) に戻る。
余りが最初に戻るので、ここから同じ割り算が繰り返される。
だから、 \(\frac{1}{7}\) は
\[ 0.142857142857\cdots \]という循環小数になる。
余りが一周するから循環する
割り算で出てくる余りは、無限に新しい種類が出てくるわけではない。
7で割るなら、余りは
\[ 0,1,2,3,4,5,6 \]のどれかである。
割り切れない場合、余り0は出てこない。
つまり、実際に動く余りは
\[ 1,2,3,4,5,6 \]の中に限られる。
そして、同じ余りが再び出てきたら、そこから先の計算は同じになる。
したがって、同じ数字列が繰り返される。
これが、分数が循環小数になる理由の基本である。
\(\frac{1}{7}\) の場合は、余りが
余りの循環
\[ 1\to3\to2\to6\to4\to5\to1 \]と6個すべてを通ってから戻ってくる。
だから、循環節の長さも6になる。
2/7, 3/7, 4/7 も同じ数字列になる
ここで、 \(\frac{2}{7}\), \(\frac{3}{7}\), \(\frac{4}{7}\) なども見てみる。
7分のいくつか
\[ \frac{1}{7}=0.\overline{142857} \] \[ \frac{2}{7}=0.\overline{285714} \] \[ \frac{3}{7}=0.\overline{428571} \] \[ \frac{4}{7}=0.\overline{571428} \] \[ \frac{5}{7}=0.\overline{714285} \] \[ \frac{6}{7}=0.\overline{857142} \]これも、さきほどの倍数の表と同じである。
\(\frac{2}{7}\) は \(\frac{1}{7}\) の2倍である。
だから、小数部分も \(142857\) の2倍である \(285714\) になる。
同じように、 \(\frac{3}{7}\), \(\frac{4}{7}\), \(\frac{5}{7}\), \(\frac{6}{7}\) でも、同じ数字列が回転して現れる。
つまり、 \(142857\) の不思議は、 7分の1だけでなく、7分のいくつの小数表示全体に関係している。
循環小数はただの小数ではない
循環小数は、ただ「割り切れなかった小数」ではない。
そこには、余りの動きが隠れている。
\(\frac{1}{7}\) では、余りが
\[ 1\to3\to2\to6\to4\to5\to1 \]と動く。
この余りの流れが、商の数字列
\[ 142857 \]を作っている。
だから、循環小数を見るときは、小数だけを見るのではなく、
割り算の途中で、余りがどう動いているか
を見ると面白い。
そこには、合同式や周期の考え方につながるものがある。
まとめ
\(\frac{1}{7}\) は、
\[ \frac{1}{7}=0.\overline{142857} \]という循環小数になる。
この \(142857\) という数字列には、不思議な性質がある。
142857 の回転
\[ 142857\times1=142857 \] \[ 142857\times2=285714 \] \[ 142857\times3=428571 \] \[ 142857\times4=571428 \] \[ 142857\times5=714285 \] \[ 142857\times6=857142 \]1倍から6倍までは、数字列が回転するように現れる。
そして、
\[ 142857\times7=999999 \]になる。
この不思議は、\(\frac{1}{7}\) を小数に直すときの余りの動きから生まれている。
余りが
\[ 1\to3\to2\to6\to4\to5\to1 \]と一周するため、商の数字列も \(142857\) と循環する。
数字列だけを見ると、ただの不思議な遊びに見える。
しかし、その裏には、割り算の余り、周期、循環という数学の考え方が隠れている。
\(\frac{1}{7}\) は、循環小数の面白さを感じるには、かなりよい入口だと思う。