高校数学で微分を習うと、まず出てくるのは
微分すると接線の傾きがわかる
という話である。
これはかなりわかりやすい。
関数 \(f(x)\) を微分すると \(f'(x)\) が出てくる。
そして、\(f'(a)\) は \(x=a\) における接線の傾きを表す。
1階導関数
\[ f'(a) \] \[ \text{\(x=a\) における接線の傾き} \]では、2回微分すると何がわかるのか。
高校数学では、
\(f''(x)>0\) なら下に凸
\(f''(x)<0\) なら上に凸
と習う。
ただ、ここを暗記で済ませると少しもったいない。
2階導関数は、単に「凹凸判定のための記号」ではない。
2階導関数が見ているのは、
傾きが増えているのか、減っているのか
である。
今回は、2階導関数とグラフの凹凸の関係を、できるだけ直感的に整理してみたい。
1階微分は傾きを表す
まず、1階微分を確認する。
関数 \(f(x)\) を微分すると、導関数 \(f'(x)\) が出てくる。
この \(f'(x)\) は、各点における接線の傾きを表している。
たとえば、
例：\(y=x^2\)
\[ f(x)=x^2 \] \[ f'(x)=2x \]である。
このとき、\(x=1\) での傾きは
\[ f'(1)=2 \]である。
\(x=2\) での傾きは
\[ f'(2)=4 \]である。
つまり、\(y=x^2\) のグラフでは、右へ進むほど傾きが大きくなっている。
この「傾きがどう変化しているか」を見るのが、2階微分である。
2階微分は、傾きの変化を見る
2階導関数とは、導関数をさらに微分したものである。
2階導関数
\[ f''(x)=(f'(x))' \]つまり、もとの関数 \(f(x)\) の変化を見るのが \(f'(x)\) だとすれば、 \(f'(x)\) の変化を見るのが \(f''(x)\) である。
言い換えると、
\(f'(x)\)：グラフの傾き
\(f''(x)\)：その傾きが増えているか、減っているか
である。
先ほどの \(f(x)=x^2\) で見てみる。
\(y=x^2\) の2階微分
\[ f(x)=x^2 \] \[ f'(x)=2x \] \[ f''(x)=2 \]2階導関数は常に \(2\) である。
つまり、傾き \(f'(x)=2x\) は、\(x\) が増えるにつれて一定の割合で増えている。
傾きが増えているので、グラフはだんだん上向きに曲がっていく。
これが、下に凸である。
下に凸とは、傾きが増えている状態である
「下に凸」という言葉は、少しわかりにくい。
グラフの見た目としては、お椀のような形である。
しかし、2階微分から見るなら、もっと大事なのは
傾きが増えている
ということである。
たとえば、左の方では傾きが負だったとする。
そこから右へ進むにつれて、傾きがだんだん大きくなっていく。
最初は下り坂だったものが、やがて水平に近づき、さらに上り坂になっていく。
このように、傾きが増えていくと、グラフは下に凸になる。
下に凸の判定
\[ f''(x)>0 \] \[ \text{傾き \(f'(x)\) が増えている} \] \[ \text{したがって、グラフは下に凸} \]ここで大事なのは、\(f''(x)>0\) という記号だけを覚えることではない。
その意味は、
傾きが増えている
ということである。
上に凸とは、傾きが減っている状態である
逆に、\(f''(x)<0\) の場合を考える。
このとき、\(f'(x)\) は減っている。
つまり、グラフの傾きがだんだん小さくなっている。
たとえば、
例：\(y=-x^2\)
\[ f(x)=-x^2 \] \[ f'(x)=-2x \] \[ f''(x)=-2 \]この場合、2階導関数は常に \(-2\) である。
つまり、傾きは減っている。
グラフは山のような形になる。
これが、上に凸である。
上に凸の判定
\[ f''(x)<0 \] \[ \text{傾き \(f'(x)\) が減っている} \] \[ \text{したがって、グラフは上に凸} \]つまり、2階導関数の符号は、グラフの曲がり方を見ている。
\(f''(x)>0\) なら傾きが増えている。
\(f''(x)<0\) なら傾きが減っている。
その結果として、下に凸・上に凸が決まる。
「下に凸」「上に凸」という言葉の注意
ここで少し注意したい。
「下に凸」「上に凸」という言い方は、人によって最初かなり混乱しやすい。
なぜなら、「凸」という言葉から、どちらにふくらんでいるのかを直感的に判断しようとすると、意外と迷うからである。
そこで、僕は高校生にはまず
下に凸・上に凸を、形の名前として丸暗記しすぎない
と伝えたい。
それよりも、
傾きが増えているなら下に凸
傾きが減っているなら上に凸
と見た方がよい。
2階導関数は、まさにその傾きの増減を見ている。
だから、記号としては
凹凸判定の基本
\[ f''(x)>0 \quad \Rightarrow \quad \text{下に凸} \] \[ f''(x)<0 \quad \Rightarrow \quad \text{上に凸} \]となる。
ただし、その中身は「傾きの増減」である。
変曲点とは何か
2階導関数を使うと、変曲点も調べられる。
変曲点とは、ざっくり言えば、
グラフの曲がり方が変わる点
である。
たとえば、ある区間では下に凸だったグラフが、ある点を境に上に凸になる。
あるいは、上に凸だったグラフが、ある点を境に下に凸になる。
このような曲がり方の切り替わる点が変曲点である。
2階導関数で考えると、変曲点は
\(f''(x)\) の符号が変わる点
と見ることができる。
たとえば、
例：\(y=x^3\)
\[ f(x)=x^3 \] \[ f'(x)=3x^2 \] \[ f''(x)=6x \]このとき、\(f''(x)=6x\) である。
\(x<0\) なら \(f''(x)<0\) なので、グラフは上に凸である。
\(x>0\) なら \(f''(x)>0\) なので、グラフは下に凸である。
つまり、\(x=0\) を境に、曲がり方が変わっている。
したがって、\(y=x^3\) は \(x=0\) で変曲点を持つ。
f''(x)=0 なら必ず変曲点なのか
ここで注意が必要である。
変曲点を調べるとき、
\[ f''(x)=0 \]を解くことが多い。
しかし、
\(f''(x)=0\) なら必ず変曲点
とは限らない。
大事なのは、2階導関数の符号がそこで変わるかどうかである。
たとえば、
注意例：\(y=x^4\)
\[ f(x)=x^4 \] \[ f'(x)=4x^3 \] \[ f''(x)=12x^2 \]このとき、\(f''(0)=0\) である。
しかし、\(f''(x)=12x^2\) は、\(x=0\) の左右でずっと \(0\) 以上である。
符号は負から正に変わっていない。
したがって、\(x=0\) は変曲点ではない。
ここはかなり大事である。
変曲点を見るときの注意
\[ f''(x)=0 \] \[ \text{だけでは不十分} \] \[ f''(x)\text{ の符号が変わるかを見る} \]つまり、変曲点は「2階導関数が0になる点」ではなく、
曲がり方が変わる点
と考えた方がよい。
2階導関数は、グラフを細かく読む道具である
高校数学では、グラフを描くときに増減表を書く。
まず \(f'(x)\) の符号を調べて、関数が増えているか減っているかを見る。
これで、極大・極小が見えてくる。
しかし、それだけではグラフの曲がり方まではわからない。
そこで、2階導関数を使う。
\(f''(x)\) を調べることで、グラフが下に凸なのか、上に凸なのか、どこで曲がり方が変わるのかが見えてくる。
つまり、1階導関数は
増えているか、減っているか
を見る。
2階導関数は
どのように曲がっているか
を見る。
この違いがわかると、グラフの見方がかなり変わる。
まとめ
2階導関数は、1階導関数をさらに微分したものである。
1階導関数 \(f'(x)\) は、グラフの傾きを表す。
2階導関数 \(f''(x)\) は、その傾きが増えているか、減っているかを表す。
したがって、
2階導関数と凹凸
\[ f''(x)>0 \quad \Rightarrow \quad \text{傾きが増えている} \quad \Rightarrow \quad \text{下に凸} \] \[ f''(x)<0 \quad \Rightarrow \quad \text{傾きが減っている} \quad \Rightarrow \quad \text{上に凸} \]である。
また、変曲点を見るときは、\(f''(x)=0\) になる点を探すだけでは足りない。
その前後で、\(f''(x)\) の符号が本当に変わっているかを確認する必要がある。
2階導関数は、グラフをただ増減で見るだけでなく、曲がり方まで読むための道具である。
そう考えると、2階微分は単なる追加計算ではない。
グラフの形をもう一段深く理解するための視点なのである。