2次方程式の解の公式は、高校数学でかなり早い段階に出てくる。
2次方程式と解の公式
\[ ax^2 + bx + c = 0 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]もちろん、これは覚えておいた方がいい。
試験中に毎回導いていたら時間がかかるし、使える場面も多い。
ただし、解の公式をただの呪文として覚えてしまうのは、少しもったいない。
なぜなら、解の公式は突然空から降ってきたものではないからである。
これは、2次方程式を平方完成で解いた結果として出てくる。
だから、一度は自分の手で導けるようにしておきたい。
そうすると、解の公式の中に出てくる \( b^2 - 4ac \) が、なぜ判別式になるのかも見えてくる。
まずは一般の2次方程式から始める
一般の2次方程式を考える。
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]ここで、\(a\) は0ではない。
なぜなら、\(a = 0\) なら2次方程式ではなくなってしまうからである。
つまり、\(a \neq 0\) として考える。
まず、両辺を \(a\) で割る。
\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \]次に、定数項を右辺に移す。
\[ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \]ここから平方完成をする。
平方完成の基本を見る
平方完成で大事なのは、次の形である。
平方完成の基本形
\[ x^2 + 2kx = (x+k)^2 - k^2 \]なぜなら、
\[ (x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2 \]だからである。
つまり、\(x^2 + 2kx\) を平方の形にしたいなら、\(k^2\) を足して、あとで同じ分だけ引けばよい。
これが平方完成の基本である。
今回の式は、
\[ x^2 + \frac{b}{a}x \]である。
ここで、\(x\) の係数は \(\frac{b}{a}\) である。
平方完成では、\(x\) の係数の半分を使う。
\[ \frac{1}{2}\cdot\frac{b}{a} = \frac{b}{2a} \]したがって、
今回使う平方完成
\[ x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]と平方完成できる。
平方完成を使って式を変形する
先ほどの式に戻る。
\[ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \]左辺を平方完成すると、
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} \]となる。
次に、 \(-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) を右辺に移す。
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} \]右辺を整理する。
\[ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} \] \[ \frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2} \]したがって、
\[ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \]よって、
平方完成後の形
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \]まで来た。
両辺の平方根をとる
ここから、両辺の平方根をとる。
\[ x+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \]右辺は、
\[ \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]とまとめることができる。
厳密に言えば、 \(\sqrt{4a^2}=2|a|\) と見たくなるかもしれない。
ただ、ここでは前に \(\pm\) がついているため、最終的な解の形では \(2a\) を分母にした形にまとめてよい。
したがって、
\[ x+\frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]となる。
最後に、 \(\frac{b}{2a}\) を右辺に移す。
\[ x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]分母が同じなので、まとめると、
解の公式
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]これが、2次方程式の解の公式である。
解の公式は平方完成から出てくる
ここまで見ると、解の公式は特別な魔法ではないことがわかる。
やっていることは、あくまで平方完成である。
ただ、係数が数字ではなく \(a,b,c\) になっているため、式が少し重く見える。
しかし、本質はふつうの平方完成と同じである。
たとえば、
\[ x^2 + 6x \]を平方完成するとき、
\[ x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9 \]とする。
これは、\(x\) の係数6の半分である3を使っている。
同じように、
\[ x^2 + \frac{b}{a}x \]では、\(x\) の係数 \(\frac{b}{a}\) の半分である \(\frac{b}{2a}\) を使っている。
だから、
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 \]が出てくる。
ここが見えれば、解の公式はただの記号列ではなくなる。
判別式はどこから出てくるのか
解の公式を見ると、平方根の中に
\[ b^2 - 4ac \]が出てくる。
この部分を
判別式
\[ D = b^2 - 4ac \]とおき、判別式と呼ぶ。
なぜこの部分が大事なのか。
それは、解の公式の中で、この部分が平方根の中に入っているからである。
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]実数の範囲で考えると、平方根の中身が正か、0か、負かによって、解の様子が変わる。
- \(D > 0\)：異なる2つの実数解をもつ
- \(D = 0\)：重解をもつ
- \(D < 0\)：実数解をもたない
つまり、判別式は、解の公式の中に自然に現れる。
突然別のルールとして出てくるわけではない。
解の公式の平方根の中身を見ているのが、判別式である。
D < 0 のときは本当に解がないのか
ここで少し注意しておきたい。
高校数学では、
\[ D < 0 \quad \text{のとき、実数解なし} \]と言う。
これは正しい。
ただし、「解がまったく存在しない」という意味ではない。
複素数まで考えれば、\(D < 0\) の場合でも解は存在する。
たとえば、
\[ x^2 + 1 = 0 \]は、実数の範囲では解を持たない。
しかし、複素数を考えれば、
\[ x = \pm i \]という解を持つ。
したがって、判別式で \(D < 0\) と言うときは、基本的には
実数解がない
という意味で理解するとよい。
公式は覚える。でも一度は導く。
解の公式は、覚えておくべき公式である。
これは間違いない。
試験のたびに毎回導いていたら、時間がかかりすぎる。
だから、使えるように覚えることは大事である。
しかし、覚えることと、意味を考えないことは違う。
一度でも自分で導いておくと、解の公式の見え方は変わる。
解の公式は、2次方程式を平方完成で解いた結果である。
そして、判別式は、
解の公式の平方根の中身である。
ここが見えると、公式と判別式が別々の知識ではなく、1つの流れとしてつながる。
まとめ
2次方程式の解の公式は、丸暗記して使う場面が多い。
しかし、ただの呪文として覚えるにはもったいない。
一般の2次方程式
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]を平方完成すると、
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]が出てくる。
つまり、解の公式は平方完成から導かれる。
また、平方根の中にある \(b^2 - 4ac\) が判別式である。
この値が正か、0か、負かによって、実数解の個数が変わる。
公式を覚えることは大事である。
ただし、一度は自分で導いてみる。
そうすると、解の公式も判別式も、ただの暗記ではなくなる。