数学では、よく
0で割ってはいけない
と言われる。
これは小学校や中学校のころから出てくるルールである。
しかし、あらためて考えると、これはなかなか不思議な話でもある。
なぜ、0で割ってはいけないのか。
0で割ると、何が起きてしまうのか。
さらに言えば、
0で割ったら無限大になるのではないか
と考えたことがある人もいるかもしれない。
実は、僕自身も学生のころ、そう考えたことがある。
今回は、0で割ってはいけない理由を、
割り算はかけ算の逆である
\(1/x\) の極限はどうなるのか
という2つの方向から整理してみたい。
割り算は、かけ算の逆である
まず、いちばん基本的なところから考える。
割り算は、かけ算の逆として見ることができる。
たとえば、
割り算とかけ算の関係
\[ 6 \div 2 = 3 \] \[ 2 \times 3 = 6 \]という関係がある。
つまり、 \(6 \div 2\) とは、
2に何をかけたら6になるか
を聞いている計算である。
この見方をすると、0で割ることがなぜ危ないのかが見えてくる。
6÷0 を考えてみる
では、 \(6 \div 0\) を考えてみる。
これは、かけ算の逆として見ると、
0に何をかけたら6になるか
を聞いていることになる。
6÷0 が意味すること
\[ 6 \div 0 \] \[ 0 \times ? = 6 \]しかし、0に何をかけても0である。
\[ 0 \times 1 = 0,\quad 0 \times 10 = 0,\quad 0 \times (-5) = 0 \]どんな数をかけても、6にはならない。
したがって、
\[ 0 \times ? = 6 \]を満たす数は存在しない。
だから、 \(6 \div 0\) は定義できない。
これは、答えが大きすぎるから困る、という話ではない。
そもそも答えになる数が存在しないのである。
0÷0 はさらにややこしい
では、 \(0 \div 0\) はどうだろうか。
これも、かけ算の逆として見る。
すると、
0に何をかけたら0になるか
を聞いていることになる。
0÷0 が意味すること
\[ 0 \div 0 \] \[ 0 \times ? = 0 \]しかし、これはさっきと違って、候補が多すぎる。
\[ 0 \times 1 = 0,\quad 0 \times 2 = 0,\quad 0 \times (-10) = 0 \]どんな数でも成り立ってしまう。
つまり、 \(0 \div 0\) は、答えが1つに決まらない。
ここは、かなり大事である。
- \(6 \div 0\)：答えが存在しない
- \(0 \div 0\)：答えが1つに決まらない
どちらも「0で割れない」とまとめて言われる。
しかし、理由は少し違う。
\(6 \div 0\) は候補がない。
\(0 \div 0\) は候補が多すぎる。
どちらにしても、割り算の答えとして1つの数を決めることができない。
だから、0で割る計算は定義しないのである。
0で割ると無限大になるのではないか
ここで、もう一つの見方を考えてみる。
僕自身、学生のころは
0で割ると無限大になるのではないか
と考えたことがある。
たとえば、
\[ \frac{1}{x} \]を考える。
\(x\) に小さい正の数を入れてみる。
正の側から0に近づける
\[ x=1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x}=1 \] \[ x=0.1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x}=10 \] \[ x=0.01 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x}=100 \]たしかに、\(x\) が0に近づくほど、 \(\frac{1}{x}\) はどんどん大きくなる。
これを見ると、
\[ \frac{1}{0} = \infty \]としたくなる気持ちもわかる。
しかし、ここには落とし穴がある。
右から近づくか、左から近づくかで変わる
\(x\) を正の側から0に近づけると、
右側極限
\[ x \to +0 \] \[ \frac{1}{x} \to +\infty \]となる。
しかし、\(x\) を負の側から0に近づけるとどうなるか。
左側から0に近づける
\[ x=-0.1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x}=-10 \] \[ x=-0.01 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x}=-100 \] \[ x=-0.001 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x}=-1000 \]つまり、負の側から0に近づけると、
左側極限
\[ x \to -0 \] \[ \frac{1}{x} \to -\infty \]となる。
右から近づくと \(+\infty\)。
左から近づくと \(-\infty\)。
近づく方向によって、飛んでいく向きが変わってしまう。
だから、
\[ \frac{1}{0} = \infty \]と単純に決めることはできない。
無限大は普通の数ではない
さらに言えば、無限大は普通の実数ではない。
ふだんの計算で使っている \(1,2,3,-5,0.1,\sqrt{2}\) などは実数である。
しかし、 \(\infty\) は、そのような実数の1つではない。
「どこまでも大きくなる」という振る舞いを表す記号として使うことはできる。
しかし、それを普通の数と同じように扱って、
\[ \frac{1}{0} = \infty \]としてしまうと、通常の実数の計算とは別の話になってしまう。
したがって、実数の計算としては、0で割ることはできない。
式変形でも0で割ってはいけない
この話は、単なる数の計算だけではない。
式変形でも重要である。
たとえば、
\[ \frac{x^2-1}{x-1} \]を考える。
分子は因数分解できる。
\[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]だから、
約分するときの注意
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \]としたくなる。
これは、ほとんどの場合で正しい。
ただし、注意が必要である。
もとの式では、分母が \(x-1\) である。
だから、 \(x=1\) を入れると、分母が0になってしまう。
つまり、もとの式は \(x=1\) では定義されていない。
したがって、
\[ \frac{x^2-1}{x-1}=x+1 \]と書くときには、本当は
\[ x \neq 1 \]という条件が必要である。
約分した後の式だけを見ると、 \(x+1\) なので、\(x=1\) でも値が出せそうに見える。
しかし、もとの式では \(x=1\) は許されていなかった。
このように、約分や式変形によって、見た目だけが簡単になっても、もとの式の条件が消えてしまうことがある。
分母を払うときも注意が必要である
方程式でも同じである。
分母を払うとき、その分母が0になる可能性があるなら、注意しなければならない。
たとえば、
\[ \frac{1}{x-2}=3 \]のような式では、そもそも
\[ x \neq 2 \]である。
なぜなら、\(x=2\) のとき、分母が0になってしまうからである。
数学では、式変形をするときに
何で割っているのか
それは0になる可能性がないのか
を確認する必要がある。
0で割ってはいけないというルールは、計算の端に小さく書いてある注意事項ではない。
式変形全体を支えるかなり大事なルールである。
まとめ
0で割ってはいけない理由は、単に「そういうルールだから」ではない。
割り算をかけ算の逆として考えると、0で割ることがなぜ定義できないのかが見えてくる。
たとえば、 \(6 \div 0\) は、
\[ 0 \times ? = 6 \]となる数を探している。
しかし、0に何をかけても6にはならない。
だから、答えが存在しない。
一方、 \(0 \div 0\) は、
\[ 0 \times ? = 0 \]となる数を探している。
これは、どんな数でも成り立ってしまう。
だから、答えが1つに決まらない。
また、極限で考えても、 \(\frac{1}{x}\) は、\(x\) を正の側から0に近づけると \(+\infty\) に向かい、負の側から0に近づけると \(-\infty\) に向かう。
したがって、
\[ \frac{1}{0} = \infty \]と単純に決めることもできない。
0で割ってはいけないという話は、約分や分母を払う操作にも関係している。
式変形をするときには、分母が0にならないかを確認する必要がある。
0で割る危険を理解しておくと、数学の式変形をただの作業ではなく、意味のある操作として見られるようになる。